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Geometría Algebraica

Formato: PDF
Fecha: 29/06/2015
Autor: Carlos Ivorra
Web: http://www.uv.es/ivorra/
     
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La geometría algebraica estudia los sistemas de ecuaciones polinómicas con coeficientes en un cuerpo.

Este documento hace una introducción a la geometría algebraica desde un punto de vista clásico, sin hablar de haces o esquemas.

Tras introducir los conceptos básicos de la geometría algebraica (variedades afines y proyectivas, puntos regulares, topología de Zariski, espacios tangentes, dimensión, etc.), se estudian las variedades complejas y demuestra que las variedades complejas regulares son variedades diferenciales complejas compactas.

A partir de aquí el autor se centra en las curvas proyectivas regulares (que en el caso complejo son superficies de Riemann) y estudia sus cuerpos de funciones regulares con las técnicas de la teoría algebraica de números (divisores primos), pues son cuerpos de funciones algebraicas.

Con estas técnicas estudia la intersección de curvas proyectivas planas (teorema de Bezout) y luego demuestra el teorema de Riemann-Roch, que proporciona, entre otras cosas, una caracterización algebraica del género topológico de una curva.

Tras un capítulo de aplicaciones del teorema de Riemann-Roch, el autor dedica un capítulo al teorema de Abel-Jacobi y otro a una introducción a la teoría de curvas elípticas.

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